قاعدة اشتقاق الجذر 

المقدمة:

يعتبر الاشتقاق من أهم المفاهيم والقوانين الرياضية التي لا تقتصر دراستها على علم الرياضيات فحسب، وإنما لها أهمية كبيرة في مختلف المجالات العلمية والعملية، مثل الفيزياء والكيمياء والفروع الهندسية، وحتى يتسنى لنا فهم اشتقاق الدالة الجذرية، لا بد لنا من التعرف على مفهوم الاشتقاق. وفي هذا المقال سيتم تناول مفهوم اشتقاق الدالة الجذرية، ثم عرض أمثلة لتوضيح القاعدة.

الاشتقاق:

الاشتقاق أو التفاضل هو طريقة لإيجاد مشتقة الدالة عند نقطة معينة، والمقصود بالمشتقة هنا معدل التغير الآني في الدالة (Instantaneous Rate) بالنسبة لأحد المتغيرات. 

لدينا معادلة رياضية بها متغيرين: X و Y، يعبر الاشتقاق في هذه الحالة عن مدى سرعة تغير y بالنسبة ل x عند أي قيمة معينة للمتغير x، والصيغة التي تعبر عن معدل تغير y بالنسبة ل x هي: dy/dx 

قاعدة اشتقاق الجذر:

الدالة الجذرية هي دالة تحتوي على متغيرات، وكما ذكرنا فإن اشتقاق الدالة الجذرية يعني إيجاد معدل تغير الدالة فيما يتعلق بالمتغير، وتأتي قاعدة اشتقاق الجذر على النحو التالي: 

ويمكن التعبير عنها بالصيغة الرياضية التالية: 

إيجاد قاعدة اشتقاق الجذر:

يمكن إيجاد أساس الصيغة الخاصة بمشتقة الجذر باستخدام الطرق التالية:

• المبدأ الأول للمشتقات. 
• قاعدة قوة التمايز. 

أولاً/ المبدأ الأول للمشتقات: 

بعد أن علمنا أن مشتقة دالة الجذر تساوي: ، فإننا سنقوم بإثبات ذلك من خلال تعريف المشتقة أو المبادئ الأولية للمشتقة، وبشكل عام يمكن تعريف المشتقة بالصيغة التالية: 

f'(x) = lim _h→0 [f (x + h) – f(x)] / h 

ويمكن تبسيط هذا الأمر من خلال التالي: 

d(√x)/dx = lim _h→0 [√ (x + h) – √x] / h 

ولتبسيط هذا التعبير الرياضي، نقوم بضرب كل من البسط والمقام ب: √(x + h) + √x 

لتكون المعادلة على النحو التالي: 

lim _h→0 [√ (x + h) – √x] / h = lim _h→0 {[√ (x + h) – √x] × [√ (x + h) + √x]} / {h × [√ (x + h) + √x]} 

وباستخدام الصيغة: (a+b) (a-b) = a² – b²

= lim _h→0 [(x + h) – x] / {h × [√ (x + h) + √x]} 

= lim _h→0 [x + h – x] / {h × [√ (x + h) + √x]} 

= lim _h→0 h / {h × [√ (x + h) + √x]} 

= lim _h→0 1 / [√ (x + h) + √x] 

= 1/ (√x + √x) 

= 1/(2√x) 

ثانياً/ قاعدة قوة التمايز: 

يمكن كذلك إيجاد مشتقة الجذر باستخدام قاعدة القوة، والتي تنص على: 

d(xⁿ)/dx = nx^n-1 

بحيث أن n ≠ -1 

على النحو التالي: 

جذر المتغير x عبارة عن x مرفوعة للقوة  ، وإذا اعتمدنا الصيغة: d(xⁿ)/dx = nx^n-1, n ≠ -1: 

d(x^1/2)/dx = (1/2) x ^{(1/2) – 1} 

= (1/2) x^-1/2 

= 1/(2√x) 

—————————————————————————————————- 

مثال توضيحي 1: 

أوجد مشتقة الجذر: 

الحل: 

d (√ (2x + 5))/dx = d (√ (2x + 5))/d (2x + 5) × d (2x + 5)/dx 

= 1/ (2√ (2x + 5)) × 2 

= 2/ (2√ (2x + 5)) 

= 1/√ (2x + 5) 

مثال توضيحي 2: 

أوجد مشتقة الجذر: 

الحل: 

d (√ (x – 3))/dx = d (√ (x – 3))/d (x – 3) × d (x – 3)/dx 

= 1/ (2 )